Složený úrok

Složený úrok je matematický mechanismus, který rozhoduje o dlouhodobém růstu spořicích a investičních produktů. Na rozdíl od jednoduchého úroku, který se počítá vždy ze stejné jistiny, složený úrok zahrnuje i dříve připsané úroky do nové úročené částky. Tento „úrok z úroků" se v krátkém horizontu projeví málo, ale na desítkách let ovlivní výsledek výrazně.^[1]

Vzorec

FV = PV × (1 + r)^n

kde:

FV — budoucí hodnota (future value)
PV — současná hodnota (present value), tedy počáteční vklad
r — úroková sazba za jedno období v desetinném tvaru
n — počet úročících období

Při častější frekvenci připisování úroku (měsíčně, denně) se vzorec rozšíří o dělení sazby a násobení počtu období: FV = PV × (1 + r/m)^(m × t), kde m je počet připsání úroku za rok a t doba v letech.

Příklad — jednorázový vklad

Vklad 100 000 Kč s ročním úrokem 6 % po 30 letech bez dalších vkladů:

Jednoduchý úrok: 100 000 + 30 × 6 000 = 280 000 Kč.
Složený úrok: 100 000 × 1,06^30 = 574 349 Kč.

Rozdíl 294 349 Kč je čistě efektem úročení dříve připsaných úroků.

Příklad — pravidelné měsíční vklady

Pravidelný měsíční vklad 3 000 Kč po 30 let při ročním úroku 6 % (měsíčně připisováno):

FV = 3 000 × ((1,005^360 − 1) / 0,005) ≈ 3 010 000 Kč

Z této částky tvoří součet vlastních vkladů 1 080 000 Kč (3 000 × 360); zbytek, tedy přibližně 1 930 000 Kč, je výnos složeného úroku. Pokud by zhodnocení bylo jen 2 % p. a., výsledek by byl zhruba 1 480 000 Kč. Rozdíl mezi 2 % a 6 % se na 30letém horizontu projeví dvojnásobně.

Čas jako rozhodující faktor

Složený úrok funguje exponenciálně, takže každý další rok přidává více než předchozí. Posunutí začátku spoření o 5 let může v 30letém horizontu znamenat snížení konečné hodnoty o 30–40 %, podle úrokové sazby. To je důvod, proč u dlouhodobého spoření na důchod platí poučka „nezačínat pozdě, začít s málem".

Reálný kontext

Modelové výpočty s pevným úrokem v reálném světě nesedí přesně. Skutečný dopad spoření zkresluje inflace, daň z výnosů a měnící se sazby. Pro plánování dlouhodobých cílů (důchod, vzdělání dětí) je proto smysluplnější uvažovat v reálných výnosech po inflaci a po dani.